Как варить по науке, или комбинаторика для начинающего алхимика

Как варить по науке, или комбинаторика для начинающего алхимика

Вы выбрали алхимию. Вы выбрали алхимию? Значит, в вас заложена страсть к азартным играм, типа однорукого бандита, и жажда наживы на игроках, пристрастившихся к допингу. ;)
Свободный рынок такой свободный...

Я не буду рассказывать как покупать ингредиенты и использовать колбы с ретортами. Это отлично сделали до меня. Я не буду открывать тайный алгоритм, как можно выиграть миллион в лото (кстати, не хотите билетик?). Это невозможно. Статистически невозможно.

Я открою вам глаза на ваши шансы.
Может вы решите, что игра с числами не для вас (тогда выбросьте скорее ваши пробирки, цены на эликсиры и так уже ниже плинтуса).
А может создадите алхимическую империю. С блэкджеком и лаборантками.
Дело за вами.

Ах да, много картинок не будет. Только формулы.

Алхимическая лаборатория устроена просто, как и все гениальное.

У вас есть несколько барабанов с ингредиентами. Сначала два, потом их количество вырастет до пяти. Каждый барабан имеет десять ячеек, из которых видно только три. Каждое вещество, трава или основа, распадается на десять элементов четырех видов. Первый по порядку вид элементов дается в количестве четырех штук, второй - трех, третий - двух и четвертый - одной. Итого - десять. Если качество травы невысокое, то последние элементы становятся неопределенными и бесполезными.

Итак, есть десять элементов, которые заполняют десять ячеек на барабане. Какую классическую задачу по комбинаторике это вам напоминает? Вы не знаете, что такое комбинаторика? Ну и почему вы выбрали алхимию?

Кто сказал, задача про ящики и шарики (сталкеры тут не причем)? Ну конечно! Нужный элемент - это шарик, ячейка барабана - ящик. Пока все просто, правда? Первый вопрос комбинаторики: сколько существует способов положить четыре шарика в десять ящиков, если все шарики одинаковые?
Ответ хорошо известен и обозначается он так:

C₄¹⁰=210

Хотите - верьте, а хотите - проверьте.

Итак, мы знаем сколько всего комбинаций шариков, теперь надо узнать сколько из них нам будут полезны. Это тоже просто: если мы пометим один ящик и спросим - сколько способов положить один шарик в нужный нам ящик, а другие три в девять оставшихся?
Я думаю, вы уже догадались.

C₃⁹=84

Если мы разделим количество нужных комбинаций на полное количество комбинаций, то получим вероятность нужного события.

P=C₃⁹/C₄¹⁰=84/210=0.4=40%

Я уже слышу: зачем столько городить? Четыре шарика, десять ящиков - ежу понятно, что шанс 40%. Подождите, мы еще не дошли до доворотов.

Для нас "доворот" означает, что мы помечаем не один ящик, а три - сколько способов положить четыре шарика в десять ящиков, чтобы хотя бы в одном из трех помеченных ящиков был шарик?

Как и раньше: один шарик - в первом помеченном ящике, а остальные три в девяти оставшихся. Но это еще не все. Есть еще вариант, когда первый помеченный ящик пуст, один шарик во втором помеченном ящике, а остальные три - в восьми оставшихся. А если два помеченных ящика пустые? Внимательный читатель уже понял.

C₃⁹+C₃⁸+C₃⁷=175

А вероятность?

P=(C₃⁹+C₃⁸+C₃⁷)/C₄¹⁰=175/210=0.83=83%

Неплохо, да? Больше чем в два раза. Если понятно, то вот упражнение - сколько доворотов нужно, чтобы всегда получать нужное зелье?

Заметьте, есть только три взаимоисключающих результата: доворот не нужен, доворот нужен, доворот не поможет (привет, бормотуха!). А какая вероятность, что доворот обязательно понадобится? Поскольку вариант с тремя ящиками включает в себя вариант с одним ящиком, то:

P=(175-84)/210=91/210=0.43=43%

Ну и осталось узнать какая вероятность неудачи? Это просто:

P=(210-175)/210=35/210=0.17=17%

До сих пор мы крутили только один барабан. А если их два?
Тогда вероятности будут перемножаться, потому что события (барабаны) - независимые.
"Подождите! - скажет внимательный читатель. - ведь доворот только один".

Правильно, и мы должны взять три разных варианта успешного варения. Первый - оба барабана сработают без доворотов. Второй - доворот обязательно нужен на первом барабане. Третий - доворот обязательно нужен на втором барабане. Нам подойдет любой из них.
Кстати, если мы используем эфир, то на втором барабане не четыре, а семь удачных ячеек. Так что для него вероятности без доворота и с доворотом будут соответственно:

P=C₆⁹/C₇¹⁰=84/120=0.7=70%
P=(C₆⁹+C₆⁸+C₆⁷)/C₇¹⁰=(84+28+7)/120=119/120=0.99=99%

Помните, для разных барабанов вероятности перемножаются, для разных вариантов - складываются.

P=(84/210)*(84/120)+(84/210)*((119-84)/120)+((175-84)/210)*(84/120)=0.79=79%

Итак, мы получили вероятность приготовления зелья из двух компонентов, например снадобья скорости из зверобоя и эфира.

Вот и все. Есть куда двигаться - впереди трех и более компонентные зелья, богатый выбор рецептов, большее количество доворотов. Не получится одно, получится другое. Но это уже не для начинающего алхимика. ;)

Внимательный алхимик, конечно же, заметил, что я ничего не сказал о кнопке "Варить". Ну что ж, признаюсь, эта кнопка совершенно, ну то есть абсолютно, не имеет отношения к нашим формулам. Все решается начальным расположением элементов в барабане. Вращение вносит элемент случайности, иначе мы бы могли совершенно безвозмездно класть и доставать компоненты, пока не получим нужную комбинацию.

Создано: 3 ноября 2009 в 20:42 dymm2000